Soal Aplikasi Turunan: Mengenal Konsep Dasar dan Contohnya

Jika Anda sedang belajar matematika, maka Anda pasti sudah tidak asing lagi dengan istilah turunan. Dalam matematika, turunan atau differential adalah operasi matematika yang digunakan untuk mencari perubahan nilai suatu fungsi pada titik tertentu. Turunan juga sering digunakan untuk menghitung gradien, kecepatan, dan percepatan.

Apa itu Aplikasi Turunan?

Aplikasi turunan adalah penggunaan konsep turunan dalam menyelesaikan masalah matematika dan fisika. Dalam aplikasi turunan, kita menggunakan rumus-rumus turunan untuk mencari solusi dari masalah yang diberikan. Biasanya, aplikasi turunan digunakan dalam masalah optimasi, analisis grafik, dan bahkan dalam fisika.

Contoh Soal Aplikasi Turunan

Mari kita lihat beberapa contoh soal aplikasi turunan agar lebih memahami konsep ini:

Contoh 1: Seorang petani ingin membuat kotak terbuka dengan luas permukaan 100 cm^2. Tentukan dimensi kotak terbuka dengan luas permukaan terbesar.

Jawaban: Misalkan panjang kotak adalah x dan lebarnya adalah y. Kita tahu bahwa luas permukaan kotak terbuka adalah 100 cm^2, sehingga:

2xy + 2xz + 2yz = 100

Untuk mencari luas permukaan terbesar, kita perlu mencari titik maksimum dari fungsi luas permukaan. Kita dapat menuliskan rumus luas permukaan sebagai berikut:

A(x,y) = xy + 2xz + 2yz

Selanjutnya, kita cari turunan parsial dari A(x,y) terhadap x dan y:

Ax(x,y) = y + 2z

Ay(x,y) = x + 2z

Setelah itu, kita cari persamaan Ax(x,y) = 0 dan Ay(x,y) = 0 untuk mencari titik kritis. Dalam kasus ini, tidak ada titik kritis, sehingga kita tidak dapat mencari titik maksimum dari fungsi luas permukaan.

Namun, kita perhatikan bahwa nilai z yang menghasilkan luas permukaan terbesar adalah ketika x = y. Oleh karena itu, kita dapat mencari nilai z yang memenuhi syarat ini:

2xy + 2xz + 2yz = 100

2x^2 + 4xz = 100

z = (50 – x^2) / 2x

Selanjutnya, kita cari turunan kedua dari A(x,y) terhadap x dan y:

Axx(x,y) = 0

Ayy(x,y) = 0

Axy(x,y) = 1

Setelah itu, kita gunakan rumus turunan kedua untuk mencari apakah titik (x,x,z) adalah maksimum atau minimum:

D(x,x,z) = Axx(x,x)Ayy(x,x) – [Axy(x,x)]^2

D(x,x,z) = 0 – 1^2 = -1

Karena D(x,x,z) negatif, maka titik (x,x,z) adalah titik maksimum dari fungsi luas permukaan. Oleh karena itu, dimensi kotak terbuka dengan luas permukaan terbesar adalah:

x = y = 5 cm

z = 5 cm

Contoh 2: Sebuah bola dilemparkan ke atas dari ketinggian 1,5 m dengan kecepatan awal 20 m/s. Hitunglah waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum dan ketinggian maksimumnya.

Jawaban: Ketinggian bola pada saat t detik dapat dihitung dengan rumus:

h(t) = 1,5 + 20t – 4,9t^2

Untuk mencari waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum, kita cari turunan pertama dari h(t) dan set sama dengan nol:

h'(t) = 20 – 9,8t = 0

t = 2,04 detik

Selanjutnya, kita cari ketinggian maksimum dengan menghitung h(2,04):

h(2,04) = 1,5 + 20(2,04) – 4,9(2,04)^2 = 21,16 m

Jadi, waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum adalah 2,04 detik dan ketinggian maksimumnya adalah 21,16 m.

Meta Description

Berikut adalah penjelasan tentang soal aplikasi turunan dan contohnya. Pelajari konsep dasar aplikasi turunan dan bagaimana menggunakannya dalam menyelesaikan masalah matematika dan fisika.

Meta Keywords

soal aplikasi turunan, turunan, differential, konsep turunan, aplikasi turunan dalam matematika, aplikasi turunan dalam fisika, contoh soal aplikasi turunan